Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，则∠ACB与∠AEB之和为（ ）

A. 45° B. 90° C. 75° D. 135°

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据等腰三角形三线合一的特点可知：CD垂直平分AB，利用线段之间的关系，得到△DBF是等腰直角三角形；再利用勾股定理求得BF、BD的关系，可得到=，接下来结合夹角相等证明△EFB∽△BFC，联系相似三角形的性质及三角形外角的性质即可得出结论.

设AD=x，

∵AC=BC，CD是AB边上的高，

∴CD是AB的垂直平分线，CD平分∠ACB，ED平分∠AEB，

∴BD=AD=x，AE=BE，AF=BF，∠ACB=2∠FCB，∠AEB=2∠FEB.

∵2CD=3AB，AD=BD=x，E、F是三等分点，

∴CD=3x，DF=EF=CE=DB=x.

又∵∠CDB=90°，

∴△DBF是等腰三角形，

∴∠DBF=45°，BF=x，

∴，，

∴=.

又∵∠EFB=∠BFC，

∴△EFB∽△BFC，

∴∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC.

∴∠DFB=∠FBE+∠FEB=∠FCB+∠FBC=45°，

∴∠ACB+∠AEB=2(∠FBE+∠FEB)=90°.

故选B.