Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任到一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE与AD相交于点G．

（1）求证：四边形AQPE是菱形．

（2）四边形EQBF是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．

（3）直接写出P点在EF的何处位置时，菱形AQPE的面积为四边形EQBF面积的一半．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）结论：四边形EQBF是平行四边形．见解析；（3）当P为EF中点时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ.

【解析】

（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP＝∠EPA，得出AE＝EP，即可得出结论；

（2）只要证明EQ∥BC，EF∥AB即可；

（3）S菱形AEPQ＝EPh，S平行四边形EFBQ＝EFh，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP＝EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ．

（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，

∴四边形AEPQ为平行四边形，

∴∠BAD＝∠EPA，

∵AB＝AC，AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠BAD，

∴∠CAD＝∠EPA，

∴EA＝EP，

∴四边形AEPQ为菱形．

（2）解：结论：四边形EQBF是平行四边形．

∵四边形AQPE是菱形，

∴AD⊥EQ，即∠AGQ＝90°，

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC即∠ADB＝90°，

∴EQ∥BC

∵EF∥QB，

∴四边形EQBF是平行四边形．

（3）解：当P为EF中点时， S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ

∵四边形AEPQ为菱形，

∴AD⊥EQ，

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴EQ∥BC，

又∵EF∥AB，

∴四边形EFBQ为平行四边形．

作EN⊥AB于N，如图所示：

∵P为EF中点

则S菱形AEPQ＝EPEN＝EFEN＝S四边形EFBQ．