Question

【题目】如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；

（3）连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(－1，0)、B(5，0)、C(0，2)；（2）6；（3）存在、、三点，它们的坐标分别是(－1－，0)，(－1，0)，(，0)，．

【解析】

（1）令y=0求A、B两点横坐标，令x=0求C点纵坐标；

（2）由抛物线顶点坐标公式求M点坐标，过M作MN垂直y轴于N，根据S△BCM=SOBMN-S△OBC-S△MNC求△BCM的面积；

（3）根据AC为腰，AC为底两种情况求P点坐标．当AC为腰时，分为A为等腰三角形的顶点，C为等腰三角形的顶点，两种情况求P点坐标；当AC为底时，作线段AC的垂直平分线交x轴于P点，利用三角形相似求OP．

解：（1）令x2+x+2=0，

解得：=－1，=5，

令x=0，则y=2，

∴A、B、C的坐标分别是：A(－1，0)、B(5，0)、C(0，2)；

（2）∵

∴顶点M的坐标是M(2，)，

过M作MN垂直y轴于N，

∴△BCM的面积=－－

=(2+5)×－×5×2－×(－2)×2=6；

（3）存在

当以AC为腰时，在x轴上有两个点分别为，，

∵

则=1+，=－1，

∴，的坐标分别是：(－1－，0)，(－1，0)；

当以AC为底时，作AC的垂直平分线交x轴于，交y轴于F，垂足为E，

∴CE=，

易证△CEF∽△COA，

∴，

∴，

∴CF=，

∴OF=OC－CF=2－=，

∴EF=

又△CEF∽△OF，

∴，

∴，

则的坐标为(，0)；

当以AC为腰时，点C为顶点时，有AC=PC，

则点P4为（1，0）；

∴存在、、三点，它们的坐标分别是：

(－1－，0)，(－1，0)，(，0)，；