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【题目】定义:如果一个三角形中有两个内角αβ满足α+2β90°,那我们称这个三角形为近直角三角形

1)若ABC近直角三角形,∠B90°,∠C50°,则∠A  度;

2)如图1,在RtABC中,∠BAC90°AB3AC4.若BD是∠ABC的平分线,

①求证:BDC近直角三角形

②在边AC上是否存在点E(异于点D),使得BCE也是近直角三角形?若存在,请求出CE的长;若不存在,请说明理由.

3)如图2,在RtABC中,∠BAC90°,点DAC边上一点,以BD为直径的圆交BC于点E,连结AEBD于点F,若BCD近直角三角形,且AB5AF3,求tanC的值.

【答案】120;(2)①见解析;②存在,CE;(3tanC的值为

【解析】

1)∠B不可能是αβ,当∠Aα时,∠Cβ50°,α+2β90°,不成立;故∠Aβ,∠Cαα+2β90°,则β20°;

(2)①如图1,设∠=ABDDBCβ,∠Cα,则α+2β90°,故△BDC是“近直角三角形”;

②∠ABE=∠C,则△ABC∽△AEB,即,即,解得:AE=,即可求解.

(3)①如图2所示,当∠ABD=∠DBCβ时,设BHx,则HE5x,则AH2AE2HE2AB2HB2,即52x262﹣(5x2,解得:x,即可求解;

②如图3所示,当∠ABD=∠Cβ时,AFEFAGGE23,则DE2k,则AG3kR(圆的半径)=BG,点HBE的中点,则GHDEk,在△BGH中,BH2k,在△ABH中,AB5BH2kAHAG+HG4k,由勾股定理得:258k2+16k2,解得:k,即可求解.

解:(1)∠B不可能是αβ

当∠Aα时,∠Cβ50°,α+2β90°,不成立;

故∠Aβ,∠Cαα+2β90°,则β20°,

故答案为20

2)①如图1,设∠=ABDDBCβ,∠Cα

α+2β90°,故△BDC是“近直角三角形”;

②存在,理由:

在边AC上是否存在点E(异于点D),使得△BCE是“近直角三角形”,

AB3AC4,则BC5

则∠ABE=∠C,则△ABC∽△AEB

,即,解得:AE

CE4

3)①如图2所示,当∠ABD=∠DBCβ时,

AEBF,则AFFE3,则AE6

ABBE5

过点AAHBC于点H

BHx,则HE5x

AH2AE2HE2AB2HB2,即52x262﹣(5x2,解得:x

cosABEcos2β,则tan2β

tanα

②如图3所示,当∠ABD=∠Cβ时,

过点AAHBEBE于点H,交BD于点G,则点G是圆的圆心(BE的中垂线与直径的交点),

∵∠AEB=∠DAE+Cα+β=∠ABC,故AEAB5,则EFAEAF532

DEBCAHBC

EDAH,则AFEFAGGE23

DE2k,则AG3kR(圆的半径)=BG,点HBE的中点,则GHDEk

在△BGH中,BH2k

在△ABH中,AB5BH2kAHAG+HG4k

由勾股定理得:258k2+16k2,解得:k

在△ABD中,AB5BD6k

cosABDcosβcosC

tanC

综上,tanC的值为

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