Question

14．已知点A、B、C三点共线，分别以线段AB、BC为边作等边△ABE，△DBC，连接AD、EC．
（1）求∠EFA的度数；
（2）点B在∠AFC的角平分线上吗？请说理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得BA=BE，BD=BC，∠ABE=∠DBC=60°，然后根据“SAS”证明△ABD≌△EBC，则∠BAD=∠BEC，然后根据三角形内角和可得到∠EFA=∠EBA=60°；
（2）作BN⊥AD于N，BM⊥EC于M，如图，根据全等三角形的性质得到BN=BM，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断点B在∠AFC的角平分线上．

解答 解：（1）∵△ABE和△DBC为等边三角形，
∴BA=BE，BD=BC，∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=120°，∠EBC=120°，
在△ABD和△EBC中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BE}\\{∠ABD=∠EBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBC，
∴∠BAD=∠BEC，
而∠BHA=∠EHF，
∴∠EFA=∠EBA=60°；
（2）点B在∠AFC的角平分线上．理由如下：
作BN⊥AD于N，BM⊥EC于M，如图，
∵△ABD≌△EBC，
∴BN=BM，
∴点B在∠AFC的角平分线上．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等边三角形的性质．解决（2）小题的关键是运用角平分线性质的逆定理．