Question

2．已知：如图AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N．
（1）画出一组同位角的角平分线MP、NQ，MP与NQ是怎样的位置关系？试说明理由．
（2）如果MP与NQ是一组内错角的角平分线，会是怎样的位置关系？画出图形，直接说出结论．
（3）如果MP与NQ是一组同旁内角的角平分线，结论还一样吗？请画图并说明结论．

Answer 1

分析 （1）结论PM∥QN，欲证明PM∥NQ只要证明∠EMP=∠ENQ即可．
（2）结论PM∥NQ，欲证明PM∥NQ只要证明∠PMN=∠MNQ即可．
（3）结论：PM⊥NQ，欲证明PM⊥QN只要证明∠PMN+∠QNM=90°即可．

解答 （1）解：如图①中，结论MP∥NQ．
理由：∵AB∥DC，
∴∠EMB=∠END，
∵∠EMP=$\frac{1}{2}$∠EMB，∠ENQ=$\frac{1}{2}$∠END，
∴∠EMP=∠ENQ，
∴MP∥NQ．

（2）如图②中，结论PM∥NQ，
理由：：∵AB∥DC，
∴∠AMF=∠MND，
∵∠PMN=$\frac{1}{2}$∠AMF，∠MNQ=$\frac{1}{2}$∠MND，
∴∠PMN=∠MNQ，
∴MP∥NQ．

（3）如图③中，结论PM⊥PN，
理由：∵AB∥CD，
∴∠AMN+∠CNM=180°，
∵∠PMN=$\frac{1}{2}$∠AMN，∠QNM=$\frac{1}{2}$∠CNM，
∴∠PMN+∠QNM=90°，
∴∠MHN=90°，
∴PM⊥QN．

点评 本题考查平行线的性质，熟练应用平行线的性质是解决问题的关键，记住题目中的三个结论对以后解题是有帮助的，属于中考常考题型．