Question

5．如图，△ABC和△DCE是两个全等的等腰三角形，底边BC、CE在一条直线上，F为DE的中点，连接BF，交AC于点P，交DC于点Q，则$\frac{PQ}{PB}$的值等于$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据全等三角形和等腰三角形的性质得到∠ACB=∠E=∠ABC=∠DCE，BC=CE，由平行线的判定定理得到AB∥CD，AC∥DE，推出△PBC∽△EBF，根据相似三角形的性质得到$\frac{PC}{EF}=\frac{PB}{BF}=\frac{BC}{BE}=\frac{1}{2}$，由△PCQ∽△DFQ，得到$\frac{PQ}{FQ}=\frac{PC}{DF}$=$\frac{1}{2}$，即可得到结论．

解答 解：∵△ABC和△DCE是两个全等的等腰三角形，
∴∠ACB=∠E=∠ABC=∠DCE，BC=CE，
∴AB∥CD，AC∥DE，
∴△PBC∽△EBF，
∴$\frac{PC}{EF}=\frac{PB}{BF}=\frac{BC}{BE}=\frac{1}{2}$，
∴PB=PF，
∵F为DE的中点，
∴DF=EF，
∴$\frac{PC}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∵AC∥DE，
∴△PCQ∽△DFQ，
∴$\frac{PQ}{FQ}=\frac{PC}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴PQ=$\frac{1}{2}$FQ，
∴PQ=$\frac{1}{3}$PF，
∴$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质；证明三角形相似是解决问题的关键．