Question

【题目】已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．

（1）如图，当∠ACB=90°时

①求证：△BCM≌△ACN；

②求∠BDE的度数；

（2）当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是　 　（用含α的代数式表示）

（3）若△ABC是等边三角形，AB=3，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②∠BDE=90°；（2）α或180°﹣α；（3）CF的长为或4．

【解析】（1）①根据SAS证明即可；

②想办法证明∠ADE+∠ADB=90°即可；

（2）分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AN的延长线上时，②如图3中，当点E在NA的延长线上时，

（3）分两种情形求解即可，①如图4中，当BN=BC=时，作AK⊥BC于K，解直角三角形即可．②如图5中，当CN=BC=时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，结合图形求解即可.

（1）①如图1中，

∵CA=CB，BN=AM，

∴CB﹣BN=CA﹣AM，

即CN=CM，

∵∠ACN=∠BCM，

∴△BCM≌△CAN；

②如图1中，

∵△BCM≌△ACN，

∴∠MBC=∠NAC，

∵EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA，

∵AG∥BC，

∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC，

∴∠ADB=∠NAC，

∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD，

∵∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°，

∴∠BDE=90°；

（2）如图2中，当点E在AN的延长线上时，

易证：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD，

∵EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA，

∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB，

∴∠BDE=∠ACB=α；

如图3中，当点E在NA的延长线上时，

易证：∠1+∠2=∠CAN+∠DAC，

∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN，

∴∠1=∠CAD=∠ACB=α，

∴∠BDE=180°﹣α，

综上所述，∠BDE=α或180°﹣α，

故答案为：α或180°﹣α；

（3）如图4中，当BN=BC=时，作AK⊥BC于K，

∵AD∥BC，

∴，

∴AD=，AC=3，易证△ADC是直角三角形，则四边形ADCK是矩形，△AKN≌△DCF，

∴CF=NK=BK﹣BN=﹣=；

如图5中，当CN=BC=时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，

∵AD∥BC，

∴，

∴AD=6，易证△ACD是直角三角形，

由△ACK∽△CDH，可得CH=AK=，

由△AKN≌△DHF，可得KN=FH=，

∴CF=CH﹣FH=4．

综上所述，CF的长为或4．