Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．当t为__________ 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】或

【解析】

（1）由题知QB=16-t，AP=21-2t，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ=BQ，②BP=PQ，③PB=BQ分别求出t即可.

如图所示，作PM⊥BC，

由题知QB=16-t，AP=21-2t，

若以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：

①若PQ＝BQ，在Rt△PMQ中，PQ2＝t2+122，

由PQ2＝BQ2，得t2+122＝（16﹣t）2，解得t＝；

②若PB＝PQ，由PB2＝PQ2，得（16﹣2t）2+122＝t2+122，

整理，得3t2﹣64t+256＝0，

解得，t1＝，t2＝16（不合题意，舍去），

③若BP＝BQ，在Rt△PMB中，BP2＝（16﹣2t）2+122，

由BP2＝BQ2，得（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2，即3t2﹣32t+144＝0，

∵△＝﹣704＜0，∴3t2﹣32t+144＝0无解，

∴BP≠BQ；

综合上面的讨论可知：当t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.