Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12，AC=16，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP=2，求CQ的长；

（3）若线段PQ与线段DE的交点为F，当△PDF为等腰三角形时，求BP的长．

Answer 1

【答案】（1）DE=，CE=；（2）CQ的长为11或14；（3）BP=或．

【解析】（1）先根据勾股定理求得BC的长，再结合点D为BC的中点可得CD的长，然后证得△ABC∽△DEC，根据相似三角形的性质即可求得结果；（2）分点P在AB边上和点P在AB的延长线上两种情况求解即可；（3）先证得△PDF∽△CDQ，因△PDF为等腰三角形 可得△CDQ为等腰三角形，再分CQ=CD、QC=QD和DC=DQ三种情况，根据等腰三角形的性质求解即可.

（1）∵∠A=90°，AB=12，AC=16，

∴根据勾股定理得到，BC==20，

∴CD=BC=10，

∵DE⊥BC，

∴∠A=∠CDE=90°，∠C=∠C，

∴△CDE∽△CAB，

∴DE：AB=CE：CB=CD：CA，

即DE：12=CE：20=10：16，

∴DE=，CE=；

（2）分两种情况考虑：

如图，∵△CDE∽△CAB，

∴∠B=∠DEC，

∵∠PDQ=90°，

∴∠QDC+∠PDB=90°，

∵∠QDC+∠EDQ=90°，

∴∠EDQ=∠PDB，

∴△PBD∽△QED，

∴=，即=，

∴EQ=，

∴CQ=CE﹣EQ=﹣=11；

如图2，

∵∠B=DEC，

∴∠PBD=∠QED，

∵∠PDQ=90°

∴∠BPD+∠QDB=90°，

∵∠QDE+∠QDB=90°，

∴∠BDP=∠QDE，

∴△PBD∽△QED，

∴=，即=，

∴EQ=，

∴CQ=+=14，

则CQ的长为11或14；

（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点FF，

∴点P在边AB上，

∵△BPD∽△EQD，

∴====，

若设BP=x，则EQ=x，CQ=﹣x，

∵cot∠QPD==，cotC===，

∴∠QPD=∠C，

∵∠PDE=∠CDQ，∴△PDF∽△CDQ，

∵△PDF为等腰三角形，

∴△CDQ为等腰三角形，

①当CQ=CD时，可得：﹣x=10，

解得：x=；

②当QC=QD时，过点Q作QM⊥CB于M，如图3所示，

∴CM=CD=5，

∵cos∠C====，

∴CQ=，

∴﹣x=，

解得：x=；

③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，如图4所示，

∴CQ=2CN，

∵cos∠C===，

∴CN=8，

∴CQ=16，

∴﹣x=16，

解得：x=﹣（舍去），

∴综上所述，BP=或．