【题目】如图,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=.动点P从A点出发,沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动,动点Q从C点同时出发,以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动,当点P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正△PQM(P、Q、M按逆时针排序),以QC为边在AC上方作正△QCN,设点P运动时间为t秒.
(1)求cosA的值;
(2)当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=S△QCN时,求t的值;
(3)当t为何值时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
【答案】(1)coaA=;(2)当t=时,满足S△PQM=S△QCN;(3)当t=s或s时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
【解析】(1)如图1中,作BE⊥AC于E.利用三角形的面积公式求出BE,利用勾股定理求出AE即可解决问题;
(2)如图2中,作PH⊥AC于H.利用S△PQM=S△QCN构建方程即可解决问题;
(3)分两种情形①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.分别构建方程求解即可;
(1)如图1中,作BE⊥AC于E.
∵S△ABC=ACBE=,
∴BE=,
在Rt△ABE中,AE=,
∴coaA=.
(2)如图2中,作PH⊥AC于H.
∵PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC-AH-CQ=9-9t,
∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9-9t)2,
∵S△PQM=S△QCN,
∴PQ2=CQ2,
∴9t2+(9-9t)2=×(5t)2,
整理得:5t2-18t+9=0,
解得t=3(舍弃)或.
∴当t=时,满足S△PQM=S△QCN.
(3)①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.
易知:PM∥AC,
∴∠MPQ=∠PQH=60°,
∴PH=HQ,
∴3t=(9-9t),
∴t=.
②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.
同法可得PH=QH,
∴3t=(9t-9),
∴t=,
综上所述,当t=s或s时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
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【题目】如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21.动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).当t为__________ 时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
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【题目】在□ABCD中,O是AC、BD的交点,过点O 与AC垂直的直线交边AD于点E,若□ABCD的周长为22cm,则△CDE的周长为( ).
A. 8cm B. 10cm C. 11cm D. 12cm
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【题目】如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点P在边AB上,∠CPB的平分线交边BC于点D,DE⊥CP于点E,DF⊥AB于点F.当△PED与△BFD的面积相等时,BP的值为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,P为AB边上一动点.若△PAD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB.
(1)求∠CAD的度数;
(2)延长AC至E,使CE=AC,试说明DA=DE.
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【题目】已知如图,直线相交于点.
(1)若∠AOC=35°,求的度数;
(2)若∠BOD:∠BOC=2:4,求的度数;
(3)在(2)的条件下,过点作,求的度数.
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