Question

11．已知抛物线y=x²-mx+2m-4．
（1）求证：不论m为何实数，抛物线总与x轴有交点；
（2）当抛物线与x轴交于A、B两点（点A在y轴左侧，点B在y轴右侧），且OA与OB的比为2：1时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值，再利用非负数的性质判断△≥0，然后根据△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数可判断不论m为何实数，抛物线总与x轴有交点；
（2）设A（-2t，0），B（t，0），（t＞0），利用交点式得到y=（x+2t）（x-t）=x²+tx-2t²，于是-m=t，2m-4=-2t²，消去t得到2m-4=-2m²，解得m₁=-2，m₂=1，然后利用t=-m＞0可确定m的值．

解答 （1）证明：△=（-m）²-4（2m-4）
=m²-8m+126
=（m-4）²，
∵（m-4）²≥0，即△≥0，
∴不论m为何实数，抛物线总与x轴有交点；
（2）解：设A（-2t，0），B（t，0），（t＞0），
则y=（x+2t）（x-t）=x²+tx-2t²，
所以-m=t，2m-4=-2t²，
所以2m-4=-2m²，
整理得m²+m-2=0，解得m₁=-2，m₂=1，
而t=-m＞0，
所以m的值为-2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程；△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．