Question

9．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{8}$x²+bx+c与一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+6的图象交于A（8，m）和y轴上的同一点B，P是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出抛物线顶点P的坐标及S_△APB．

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式先求出A、B两点坐标代入二次函数解析式求出b、c的值即可得抛物线解析式；
（2）将（1）中抛物线解析式配方可得其顶点式，即可知其顶点P的坐标，利用割补法可求三角形的面积．

解答 解：（1）由直线y=-$\frac{1}{2}$x+6过点A（8，m）和y轴上的点B，知
当x=8时，m=-$\frac{1}{2}$×8+6=2，
当x=0时，y=6，
故点A坐标为（8，2），点B坐标为（0，6），
根据题意，将A坐标（8，2），点B坐标（0，6）代入y=-$\frac{1}{8}$x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{-8+8b+c=2}\\{c=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=6}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x+6；
（2）将抛物线y=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x+6配方得：y=-$\frac{1}{8}$（x-2）²+$\frac{13}{2}$，
则顶点P的坐标为（2，$\frac{13}{2}$），

过点P作PN⊥y轴，过点A作AM⊥y轴于点M，
则S_△ABP=S_梯形APNM-S_△ABM-S_△PBN
=$\frac{1}{2}$×（2+8）×（$\frac{13}{2}$-2）-$\frac{1}{2}$×8×4-$\frac{1}{2}$×2×（$\frac{13}{2}$-6）
=6．

点评 本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的配方及割补法求三角形的面积，待定系数法求解析式是根本．