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【题目】如图,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,且直线CD经过∠BCA的内部,点EF在射线CD上,已知CA=CB且∠BEC=CFA=α

1)如图1,若∠BCA=80°,∠α=90°,问EF=BE-AF,成立吗?说明理由.

2)将(1)中的已知条件改成∠BCA=β,∠α+β=180°(如图2),问EF=BE-AF仍成立吗?说明理由.

【答案】1EF=BE-AF成立,理由见解析;(2EF=BE-AF成立,理由见解析.

【解析】

1)根据已知条件可得∠B=ACE,证明△BCE≌△ CAF,则有BE=CFAF=EC,所以可得EF=BE-AF

2)根据∠BCA=β,∠BEC=α=180°-∠β可求得∠B=ACE,则可证明BCE≌△ CAF,则有BE=CFAF=EC,所以可得EF=BE-AF.

1EF=BE-AF成立,理由如下:

∵∠BCA=80°(已知),

∴∠BCE+ACE=80°

∵∠BEC=α=100°(已知),

∴∠BEF=180°100°=80°(平角定义).

∴∠B+BCE=80°(三角形外角和定理)

∴∠B=ACE(等量代换).

BCECAF中,

∴△BCE≌△ CAF(AAS)

BE=CFAF=EC(全等三角形对应边相等).

EF=CFCE=BEAF(等量代换).

2EF=BE-AF成立,理由如下:

∵∠BCA=β

∴∠BCE+ACE=β

∵∠BEC=α=180°-∠β

∴∠BEF=180°-∠α=β.

∴∠B+BCE=β.

∴∠B=ACE

BCECAF中,

∴△BCE≌△ CAF(AAS)

BE=CFAF=EC

EF=CFCE=BEAF.

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