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【题目】如图,已知抛物线yax2+bx+c的图象经过点A33)、B40)和原点OP为直线OA上方抛物线上的一个动点.

1)求直线OA及抛物线的解析式;

2)过点Px轴的垂线,垂足为D,并与直线OA交于点C,当△PCO为等腰三角形时,求D的坐标;

3)设P关于对称轴的点为Q,抛物线的顶点为M,探索是否存在一点P,使得△PQM的面积为,如果存在,求出P的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)直线OA的解析式为yx,二次函数的解析式是y=﹣x2+4x;(2D);(3)存在,P)或().

【解析】

1)设直线OA的解析式为y1kx,把点A坐标(33)代入得:k1,直线OA的解析式为yx;再设y2axx4),把点A坐标(33)代入得:a1,即可求解;

2P为直线OA上方抛物线上的一个动点,故0m3.此时仅有OCPCCOODm,解得,即可求解;

3M到直线PQ的距离为4n24n)=(n22,要使△PQM的面积为,则,即,即可求解.

解:(1)设直线OA的解析式为y1kx

把点A坐标(33)代入得:k1

直线OA的解析式为yx

再设y2axx4),

把点A坐标(33)代入得:a=﹣1

函数的解析式为y=﹣x2+4x

直线OA的解析式为yx,二次函数的解析式是y=﹣x2+4x

2)设D的横坐标为m,则P的坐标为(m,﹣m2+4m),

P为直线OA上方抛物线上的一个动点,

∴0m3

此时仅有OCPCCO=ODm

,解得

3)函数的解析式为y=﹣x2+4x

对称轴为x2,顶点M24),

Pn,﹣n2+4n),则点P关于对称轴的对称点Q4n,﹣n2+4n),

M到直线PQ的距离为4﹣(﹣n2+4n)=(n22

要使PQM的面积为

,即

解得:

∴P)或().

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