Question

如图，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A（4，0），与y轴正半轴交于点B，cos∠BAO=

4

5

．
（1）求一次函数的解析式；
（2）OC是△AOB的角平分线，反比例函数y=

m

x

的图象经过点C，求m的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由A的坐标得到OA的长，在直角三角形AOB中，根据cos∠BAO的值及OA的长，利用锐角三角函数定义求出OB的长，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由OC为∠AOB的平分线，且∠AOB为直角，判断得到三角形OCD为等腰直角三角形，即CD=OD=a，表示出C坐标，代入一次函数解析式求出a的值，确定出C坐标，将C坐标代入反比例解析式求出m的值即可．

解答：解：（1）∵A（4，0），∴OA=4，
∵∠AOB=90°，cos∠BAO=

4

5

，
∴AB=

OA

cos∠BAO

=5，
∴OB=

AB2-OA2

=3，即B（0，3），
将A（4，0）和B（0，3）代入y=kx+b得：

4k+b=0 b=3

，
解得：

k=- 3 4 b=3

，
则一次函数解析式为y=-

3

4

x+3；

（2）过C作CD⊥OA，设OD=a，
∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠COD=

1

2

∠AOB=45°，
∵CD⊥OA，
∴△CDO为等腰直角三角形，
∴CD=OD=a，即C（a，a），
∵C点在直线AB上，
将C坐标代入直线AB得：-

3

4

a+3=a，
解得：a=

12

7

，
∴C（

12

7

，

12

7

），
将C坐标代入反比例解析式得：m=

144

49

．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．