Question

【题目】如图1，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D、点E．

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在点C的运动过程中，△DOE中是否存在长度保持不变的边或度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其长度或度数（只求一种即可）；如果不存在，请说明理由；

（3）作DF⊥OE于点F（如图2），当DF 2+EF取得最大值时，求sin∠BOD的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，DE的长度是不变的。证明见解析；（3）

【解析】（1）根据垂径定理，可得BD的长度，根据勾股定理，可得答案；
（2）根据勾股定理，可得AB的长度，根据三角形的中位线，可得答案，根据垂径定理，可得圆心角相等，根据角的和差，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得DF2，根据二次函数的最值，可得DF的长度，根据等腰直角三角形的性质，可得OD的长度，根据正弦的含义，可得答案．

解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，

∴BD=BC=．

又∵OB=2，

∴．

（2）解：存在，DE的长度是不变的．

如图，连结AB，

则．

∵点D、点E分别是BC、AC的中点，

∴DE=AB=．

解法二：

存在，∠DOE的度数是不变的。

如图，连结OC，

可得∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠AOB=900

∴∠2+∠3=45°即∠DOE=45°，

（3）解法一：

如图，

设BD=x，则OD2=4-x2

由（2）解法二，可知∠DOE=45°，

∴△DOF是等腰直角三角形，

∴ ∴

在Rt△DFE中，由（2）解法一，可知DE=

∴DF 2+EF =

∴当，即BD 时，DF 2+EF取得最大值，

此时，。

解法二：

如图，

设EF=x，由（2）解法一，可知DE=

在Rt△DFE中，

∴DF 2+EF =

∴当，即EF时，DF 2+EF取得最大值，

此时，DF

由（2）解法二，可知∠DOE=45°，

∴△DOF是等腰直角三角形，

∴OD

在Rt△BOD中，

∴。