Question

如图，在正方形ABCD的一边上取一点E，使AE=

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AD，从AB的中点O作OK⊥EC于K，判断OK²=EK•KC是否成立？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：如图，证明AE：BO=AO：BC，结合∠A=∠B，得到△AOE∽△BCO；进而证明∠EOC=90°，运用射影定理即可解决问题．

解答：解：OK²=EK•KC成立；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=AD=BC（设为λ）；
在△AOE与△BCO中，
∵AE：OB=

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λ：

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λ=1：2，AO：BC=

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λ：λ=1：2，
∴AE：BO=AO：BC，而∠A=∠B，
∴△AOE∽△BCO，
∴∠AOE=∠BCO；而∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠AOE+∠BOC=90°，
∴∠EOC=180°-90°=90°；
∵OK⊥EC，
∴OK²=EK•KC（射影定理）．

点评：该题以正方形为载体，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及其性质、射影定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用正方形的性质等知识点来证明△AOE∽△BCO，进而证明证明△COE为直角三角形．