Question

平面直角坐标系中A（1，4），B（4，1）．
（1）动点P在x轴上，且P到A、B的距离之和最小，求点P的坐标．
（2）若动点P在y轴，当△ABQ周长最小时，求点Q的坐标．
（3）若x轴上有一点P，y轴上有一点Q，四边形ABPQ的周长是否存在最小？若有请求之，若无请说明理由．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，求出C的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出k、b，得出直线BC的解析式，求出直线与x轴的交点坐标即可．
（2）首先作点A关于y轴的对称点D连接DB，DB与y轴交点即为Q点，则此时△ABQ周长最小，求出过D，B两点的直线函数关系式，再求出直线与y轴交点坐标即可；
（3）作A点关于y轴对称点A′，作B点关于x轴对称点B′，进而连接A′B′，交y轴于点Q，交x轴于点P，此时四边形ABPQ的周长最小，利用勾股定理即可得出答案．

解答：解：（1）如图1，作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，
∵A点的坐标为（1，4），B点的坐标为（4，1），
∴C（1，-4），
设直线BC的解析式是：y=kx+b，
把B、C的坐标代入得：

4k+b=1 k+b=-4

，
解得

k= 5 3 b=- 17 3

．
即直线BC的解析式是y=

5

3

x-

17

3

，
当y=0时，

5

3

x-

17

3

=0，
解得：x=

17

5

，
∴P点的坐标是（

17

5

，0）．

（2）如图2，作点A关于y轴的对称点D（-1，4），连接DB，DB与y轴交点即为Q点，则此时△ABQ周长最小；
设过D，B两点的直线函数关系式为y=mx+n，
∵D（-1，4）．B（4，1），
∴

-m+n=4 4m+n=1

，
解得：

m=- 3 5 n= 17 5

，
∴过D，B两点的直线函数关系式为y=-

3

5

x+

17

5

；
当x=0时，y=

17

5

，
即：直线DB与y轴交于点（0，

17

5

），
∴Q点坐标是（0，

17

5

）．

（3）如图3：作A点关于y轴对称点A′，作B点关于x轴对称点B′，进而连接A′B′，交y轴于点Q，交x轴于点P，此时四边形ABPQ的周长最小，
∵A点的坐标是（1，4），B点的坐标是（4，1），
∴AB=

(1-4)2+(4-1)2

=3

2

，A′（-1，4），B′（4，-1），
故A′B′=

(-1-4)2+(4+1)2

=5

2

，
则四边形PABQ的周长最短的值为：3

2

+5

2

=8

2

．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P、Q点，题目具有一定的代表性，难度适中．