Question

已知：如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，D为⊙O上一点，过D作DE⊥MN于E，DE是⊙O的切线．
（1）求证：AD平分∠CAM；
（2）若⊙O的半径为7.5cm，AE=3cm，求tan∠CBD的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）由DE与圆O相切，利用切线的性质得到∠ADE=∠ABD，再根据直角三角形的性质得出∠ABD+∠BDE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，从而得出∠BDE=∠DAE，利用圆周角的性质，得到BC⊥MN，进而求得DE∥BC，利用两直线平行得到一对内错角相等，得出∠DAE=∠DAC，即AD为∠CAE的平分线；
（2）连接OD，过O作OF⊥AB，显然得到四边形ODEF为矩形，利用矩形的对边相等得到OD=EF，OF=DE，设DE=x，由EF-AE=OD-EF表示出AF的长，在直角三角形AOF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到DE的长，然后通过解直角三角形即可求得tan∠CBD的值．

解答：（1）证明：∵DE切圆O于D，
∴∠ADE=∠ABD，
又∵DE⊥MN，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABD+∠BDE=90°，∠ADE+∠DAE=90°
∴∠BDE=∠DAE，
∵AC是直径，
∴BC⊥MN，
∴DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBC，
又∵∠DAC=∠DBC，
∴∠DAC=∠DAE，
∴AD平分∠CAM；

（2）解：连接OD，过O作OF⊥AB，
∵DE是⊙O的切线．
∴OD⊥DE，
∴四边形ODEF为矩形，
∴OF=DE，OD=EF，
设DE=xcm，AE=3cm，OD=EF=OA=7.5cm，
∴AF=EF-AE=（7.5-3）=4.5cm，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得：OA²=AF²+OF²，即7.5²=4.5²+x²，
解得：x=6cm．
∴DE=6cm，
∴∠DAE=∠CBD，
∴tan∠CBD=tan∠DAE=

DE

AE

=

6

3

=2．

点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，解直角三角形等，利用了转化及方程的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．