【题目】如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,将直角三角板的顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA、OB相交于点C、D,问PC与PD相等吗?试说明理由.
【答案】解:PC与PD相等.理由如下:过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F.
∵OM平分∠AOB,点P在OM上,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等)
又∵∠AOB=90°,∠PEO=∠PFO=90°,
∴四边形OEPF为矩形,
∴∠EPF=90°,
∴∠EPC+∠CPF=90°,
又∵∠CPD=90°,
∴∠CPF+∠FPD=90°,
∴∠EPC=∠FPD=90°﹣∠CPF.
在△PCE与△PDF中,
∵ ,
∴△PCE≌△PDF(ASA),
∴PC=PD.
【解析】先过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,构造全等三角形:Rt△PCE和Rt△PDF,这两个三角形已具备两个条件:90°的角以及PE=PF,只需再证∠EPC=∠FPD,根据已知,两个角都等于90°减去∠CPF,那么三角形全等就可证.
【考点精析】利用角平分线的性质定理对题目进行判断即可得到答案,需要熟知定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 定理2:一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上.
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【题目】在△ABC中,AB=6,AC=8,则BC边上中线AD的取值范围为( ) (提示:可以构造平行四边形)
A.2<AD<14
B.1<AD<7
C.6<AD<8
D.12<AD<16
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【题目】当下共享单车在各大城市相当火热,给人们的短距离出行带来了许多便利.某市准备在2017年分四期投放若干辆“飞歌同程”和“摩拜单车”两种品牌的共享单车.决策人员根据计划绘制了如图所示的两幅统计图.
(1)第四期投放占总量的百分比是 ;
(2)计算该市四期共投放多少辆共享单车;
(3)补全四期投放共享单车折线统计图.
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【题目】如图1,AD是三角形ABC的边BC上的高,且AD=8 cm,BC=9 cm.点E从点B出发,沿线段BC向终点C运动,其速度与时间的关系如图2所示.设点E运动时间为x(s),三角形ABE的面积为y(cm2).
图1 图2
(1)在点E沿BC向点C运动的过程中,它的速度是 cm/s,用含x的代数式表示线段BE的长是 cm,变量y与x之间的关系式为 ;
(2)当x=2时,y的值为24;当x每增加1 s时,y的变化情况是: .
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【题目】如图,在中, , ,点在边上,且,以为圆心, 长为半径的圆分别交, 于, 两点.
(1)求证: 是的切线;
(2)判断由, , 及切点所构成的四边形的形状,并说明理由.
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【题目】(1)如图①,四边形 ABCD 是正方形,点 G 是 BC 上的任意一点,BF AG 于点 F,DE AG于点 E,探究 BF,DE,EF 之间的数量关系.第一学习小组合作探究后,得到DE–BF= EF,请证明这个结论;
(2)若(1)中的点 G 在 CB 的延长线上,其余条件不变,请在图②中画出图形,并直接写出此时 BF,DE,EF 之间的数量关系;
(3)如图 ③ ,四边形 ABCD 内接于 ⊙O,AB=AD,E ,F 是AC 上的两点,且满足∠AED=∠BFA=∠BCD.试判断 AC,DE,BF 之间的数量关系,并说明理由.
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