Question

【题目】如图1，在长方形中，，，点在线段上以的速度由向终点运动，同时，点在线段上由点向终点运动，它们运动的时间为.

（解决问题）

若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，回答下面的问题：

(1)；

(2)此时与是否全等，请说明理由；

(3)求证：；

（变式探究）

若点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，请直接写出相应的的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】解决问题（1）1；（2）全等；（3）见解析；变式探究：1或.

【解析】

解决问题

（1）当t=1时，AP的长=速度×时间；

（2）算出三角形的边，根据全等三角形的判定方法判定；

（3）利用同角的余角相等证明∠DPQ=90°；

变式探究

若与全等，则有两种情况：①≌②≌，分别假设两种情况成立，利用对应边相等求出t值.

解：解决问题

（1）∵t=1，点P的运动速度为，

∴AP=1×1=1cm；

（2）全等，理由是：

当t=1时，可知AP=1，BQ=1，

又∵AB=4，BC=3，

∴PB=3，

在△ADP与△BPQ中，

，

∴△ADP≌△BPQ（SAS）

（3）∵△ADP≌△BPQ，

∴∠APD=∠PQB，

∵∠PQB+∠QPB=90°，

∴∠APD+∠QPB=90°，

∴∠DPQ=90°，即DP⊥PQ.

变式探究

①若≌，

则AP=BQ，

即1×t=x×t，

x=1；

②若≌，

AP=BP，即点P为AB中点，

此时AP=2，t=2÷1=2s，

AD=BQ=3，

∴x=3÷2=cm/s.

综上：当与全等时，x的取值为1或.