Question

【题目】如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．

（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；

（2） 当AP为何值时，四边形PMEN是菱形？并给出证明。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当PA=5时，四边形PMEN为菱形，理由见解析.

【解析】分析：(1)用三角形的中位线定理证明四边形PMEN的两组对边分别平行；(2)由(1)得四边形PMEN是平行四边形，只需证PM＝PN，即PC＝PD，故要证△APD≌△BPC.

详解：(1)∵M，E分别为PD，CD的中点，∴ME∥PC，

同理可证：ME∥PD，

∴四边形PMEN为平行四边形；

(2)当PA＝5时，四边形PMEN为菱形．

理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，

∵AP＝5，AB＝CD＝10，∴AP＝BP，

在△APD和△BPC中，

AP＝BP，∠A＝∠B，AD＝BC，

∴△APD≌△BPC(SAS)，∴PD＝PC，

∵M，N，E分别是PD，PC，CD的中点，

∴EN＝PM＝PD，PN＝EM＝PC，∴PM＝EM＝EN＝PN，

∴四边形PMEN是菱形．