Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．射线BD为∠ABC的平分线，交AC于点D．动点P以每秒2个单位长度的速度从点B向终点C运动．作PE⊥BC交射线BD于点E．以PE为边向右作正方形PEFG．正方形PEFG与△BDC重叠部分图形的面积为S．

（1）求tan∠ABD的值．

（2）当点F落在AC边上时，求t的值．

（3）当正方形PEFG与△BDC重叠部分图形不是三角形时，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）tan∠ABD=；（2）；（3）①当时，；②当时，；③当时，.

【解析】

（1）过点D作DH⊥BC于点H，可得△ABD≌△HBD，所以CH=BC-AB=4.再由三角形相似即可求出DH=AD=3.根据三角函数定义即可解题.

（2）由（1）得BP=2PE，所以BP=2t，PE=PG=EF=FG=t，当点F落在AC边上时，FG=CG，即可得到方程求出t.

（3）当正方形PEFG与△BDC重叠部分图形不是三角形时，分三种情况分别求出S与t之间的函数关系式，①当时，F点在三角形内部或边上，②当时，如图：E点在三角形内部，F点在外部，此时重叠部分图形的面积S=S正方形-S△FMN，③当时，重叠部分面积为梯形MPGN面积，

解：（1）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8

根据勾股定理得BC=10

过点D作DH⊥BC于点H

∵△ABD≌△HBD，

∴BH=AH=6，DH=AD，

∴CH=4，

∵△ABC∽△HDC，

∴,

∴，

∴DH=AD=3，

∴tan∠ABD==，

（2）由（1）可知BP=2PE，依题意得：BP=2t，PE=PG=EF=FG=t，CG=10-3t，

当点F落在AC边上时，FG=CG，

即，

，

（3）①当时，F点在三角形内部或边上，正方形PEFG在△BDC内部，

此时重叠部分图形的面积为正方形面积：，

②当时，如图：E点在三角形内部，F点在外部，

∵GC=10-3t，NG=CG=（10-3t），FN=t-（10-3t），FM= ,

此时重叠部分图形的面积S=S正方形-S△FMN

,

③当时，重叠部分面积为梯形MPGN面积，如图：

∵GC=10-3t，NG=CG=（10-3t），PC=10-2t，PM=,

∴，

综上所述：当时，；当时，；当时，.