Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，与轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）绕点旋转的直线：与轴相交于点，与抛物线相交于点，且满足时，求直线的解析式；

（3）点为抛物线上的一点，点为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：；（2）直线的解析式为或；（3）存在，符合题意的点有3个：，，

【解析】

（1把和代入中得到一个关于a,b的二元一次方程组，把这个方程组解出来即可；

（2）分两种情况讨论进行计算即可；

（3）分三种情况讨论，利用平行四边形的性质列方程求解即可.

解：（1）∵抛物线经过点，点，

∴解得：

∴抛物线的解析式为：

（2）①如图1，当点、在点的异侧时，过点作轴于点

∴

∵

∴，

∴

∵

∴

∴

∴

∴点与点的横坐标为

∴点的纵坐标为

∴点的坐标为

∵直线：过点和点

∴解得：

∴直线的解析式为

②如图2，当点、在点的同侧时，过点作轴于点

∴

∵

∴，

∴

∵

∴

∴

∴

∴点与点的横坐标为

∴点的纵坐标为

∴点的坐标为

∵直线：过点和点

∴解得：

∴直线的解析式为

综上所述：直线的解析式为或．

（3）存在，符合题意的点有3个它们分别是：，，.

设P的坐标为P(x, ),点Q的坐标为（2，y）

当BP∥CQ时，则,解得x=1，

∴=

∴.

当BP∥QC时，则,解得x=5，

∴=

∴，

③当BC∥PQ时，则 ，解得x=-1，

∴=

∴.

综上所述，点有3个它们分别是：，，.

【点晴】

本题考查了二次函数的综合应用，合理利用数形结合和分类讨论是解题的关键.