Question

若正方形ABCD的边长为4，对角线交于点O，点E在AC上，且OE=

2

，延长BE交直线AD于点F，则DF的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：分类讨论

分析：如图1，首先求出AC的长度，进而得到AE、CE的长度；证明△AEF∽△CEB，列出比例式

AF

BC

=

AE

CE

，求出AF的长；如图2，类比（1）中的解法，求出AF的长度，即可解决问题．

解答：解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，OA=OB；由勾股定理得：
AC=

42+42

=4

2

，
∴OA=2

2

，AE=

2

，EC=3

2

；
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴

AF

BC

=

AE

CE

，而BC=4，
∴AF=

4

3

，DF=4-AF=

8

3

．
如图2，当点F在AD的延长线上时，
同理可求：AE=3

2

，EC=

2

；
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴

AF

BC

=

AE

EC

，解得：AF=12，DF=8；
综上所述，DF的长为

4

3

或8．
故答案为

4

3

或8．

点评：该题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是根据题意准确作出符合题意的两个图形，灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、解答．