Question

如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，BE⊥AC于点E，EB的延长线与∠ADC的角平线相交于点F，DF交AC于点M，求证：AC=BF．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：由矩形的性质可得∠COB=2∠CDO，∠EBO=∠BDF+∠F，结合角平分线的定义可求得∠F=∠BDF，可证明BF=BD，结合矩形的性质可得AC=BF．

解答：证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，∠ADC=90°，OC=OD，
∴∠COB=2∠CDO，
又∵BE⊥AC，
∴∠COB+∠EBO=90°，
∵∠EBO=∠BDF+∠F，
∴2∠CDO+∠BDF+∠F=90°，
又∵DF平分∠ADC，
∴∠CDO+∠BDF=

1

2

∠ADC=45°，
∴2∠CDO+∠BDF+∠F=45°+∠CDO+∠F=90°，
∴∠CDO+∠F=45°，
又∵∠BDF+∠CDO=45°，
∴∠BDF=∠F，
∴BF=BD，
∴AC=BF．

点评：本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的四个角都是直角、对角线互相平分且相等是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．