Question

【题目】如图，在中，，，，的平分线与的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点．

（1）求证：；

（2）求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）如图，连接，，根据角平分线的性质可得DE=DF，根据垂直平分线的性质可得DC=DB，利用HL可证明Rt△DEC≌Rt△DFB，即可得EC=BF；

（2）根据四边形内角和可得∠EDF=90°，根据全等三角形的性质可得∠EDC=∠FDB，根据角的和差关系可得∠CDB=∠EDF=90°，利用勾股定理可求出BC的长，根据直角三角形斜边中线的性质即可求出DG的长．

（1）连接，，

∵平分，，，

∴.

∵垂直平分线，

∴，

在与中，，

∴，

∴．

（2）∵，∠BAC=90°，DF⊥AB，

∴-∠BAC=90°，

∵Rt△DEC≌Rt△DFB，

∴，

∴，

∴∠CDB=∠EDF=90°，

∵AC=5，，，

∴，

∵，垂直平分，

∴．