Question

如图，把一张长10cm，宽8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），从美观的角度考虑要求底面的短边与长边的比不小于

2

3

，设四周小正方形的边长为x cm
（1）求盒子的侧面积S_侧与x的函数关系式，并求x的取值范围；
（2）求当正方形的边长x为何值时侧面积S_侧有最大值；
（3）若要求侧面积不小于28cm²，直接写出正方形的边长x的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）由长方体的侧面积=四个长方形的面积之和就可以表示出S_侧与x之间关系式，由底面的短边与长边的比不小于

2

3

建立不等式就可以求出x的取值范围；
（2）由（1）的解析式根据二次函数的性质就可以求出最大值；
（3）由侧面积不小于28cm²，建立不等式求出其解即可．

解答：解：（1）由题意，得
S_侧=2（10-2x）x+2（8-2x）x，
S_侧=-8x²+36x．
∵

8-2x

10-2x

≥

2

3

，
∴x≤2．
∵x＞0，
∴0＜x≤2；
（2）∵S_侧=-8x²+36x．
∴S_侧=-8x²+36x．
∴S_侧=-8（x-

9

4

）²+

81

2

．
∴a=-8＜0
∴x=

9

4

时，S_侧最大=

81

2

，
∴在对称轴的左侧，S_侧随x的增而增大，
∵0＜x≤2；
∴当x=2时，S_侧=40
答：当x=2时，S_侧有最大值为40；
（3）由题意，得
-8x²+36x≥28，
2x²-9x+7≤0，
（x-1）（2x-7）≤0，
∴①

x-1≤0 2x-7≥0

，②

x-1≥0 2x-7≤0

，
解①，得原不等式组无解，
解②，得1≤x≤

7

2

．
故正方形的边长x的取值范围是：1≤x≤

7

2

．

点评：本题考查了长方体的侧面积的运用，二次函数的性质的运用，自变量的取值范围的运用，一元二次不等式的运用，解答时求出二次函数的解答式是关键．