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【题目】已知:ABC内接于⊙O,过点A作直线EF

1)如图甲,AB为直径,要使EF为⊙O的切线,还需添加的条件是(写出两种情况,不需要证明):①   或②   

2)如图乙,AB是非直径的弦,若∠CAF=B,求证:EF是⊙O的切线.

3)如图乙,若EF是⊙O的切线,CA平分∠BAF,求证:OCAB

【答案】1)①OAEF;②∠FAC=B;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

(1) 添加条件是:OAEF或∠FAC=B根据切线的判定和圆周角定理推出即可.

(2) 作直径AM,连接CM,推出∠M=B=EAC,求出∠FAC+CAM=90°,根据切线的判定推出即可.

(3)由同圆的半径相等得到OA=OB,所以点OAB的垂直平分线上,根据∠FAC=B,∠

BAC=FAC,等量代换得到∠BAC=B,所以点CAB的垂直平分线上,得到OC垂直平分AB

1)①OAEF②∠FAC=B

理由是:①∵OAEFOA是半径,

EF是⊙O切线,

②∵AB是⊙0直径,

∴∠C=90°

∴∠B+BAC=90°

∵∠FAC=B

∴∠BAC+FAC=90°

OAEF

OA是半径,

EF是⊙O切线,

故答案为:OAEF或∠FAC=B

2)作直径AM,连接CM

即∠B=M(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),

∵∠FAC=B

∴∠FAC=M

AM是⊙O的直径,

∴∠ACM=90°

∴∠CAM+M=90°

∴∠FAC+CAM=90°

EFAM

OA是半径,

EF是⊙O的切线.

3)∵OA=OB

∴点OAB的垂直平分线上,

∵∠FAC=B,∠BAC=FAC

∴∠BAC=B

∴点CAB的垂直平分线上,

OC垂直平分AB

OCAB

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男生:74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74

女生:76 87 93 65 78 94 89 68 95 54 89 87 89 89 77 94 86 87 92 91

成绩

50≤x≤59

60≤x≤69

70≤x≤79

80≤x≤89

90≤x≤100

男生

0

1

10

1

8

女生

1

2

a

8

6

平均数、中位数、众数、方差如表所示:

成绩

平均数

中位数

众数

方差

男生

84

77

74

145.4

女生

84

b

89

115.6

根据以上信息,回答下列问题:

1a   b   

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