Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx﹣c与x轴交A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；

（2）点M是线段AC上的点（不与A，C重合），过M作MF∥y轴交抛物线于F，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MF的长；

（3）在（2）的条件下，连接FA、FC，是否存在m，使△AFC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；直线AC的解析式为y=﹣x﹣1；

（2）MF=（﹣m﹣1）﹣（ m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2；

（3）当m=时，△AFC的面积最大为．

【解析】试题分析：（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式求出b和c的值即可求出抛物线解析式；再把点C的横坐标代入已求出的抛物线解析式可求出其纵坐标，进而可求出直线AC的表达式；

（2）已知点M的横坐标为m，点M又在直线AB上，所以可求出其纵坐标，而点F在抛物线上，所以可求出其纵坐标，进而可用m的代数式表示MF的长；

（3）存在m，使△AFC的面积最大，设直线MF与x轴交于点H，作CE⊥MF于E，由S△AFC=MF（AH+CE），可得关于m的二次函数关系式，根据函数的性质即可求出△AFC的最大值．

试题解析：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）带入y=x2+bx﹣c，

得，解得： ，

∴解析式为：y=x2﹣2x﹣3，

把x=2带入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3，

∴C（2，﹣3），

设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（﹣1，0）、C（2，﹣3）带入，

得，解得： ，

∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣1；

（2）∵点M在直线AC上，

∴M的坐标为（m，﹣m﹣1）；

∵点F在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，

∴F点的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），

∴MF=（﹣m﹣1）﹣（ m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2；

（3）存在m，使△AFC的面积最大，理由如下：

设直线MF与x轴交于点H，作CE⊥MF于E，

S△AFC=MF（AH+CE）=MF（2+1）=MF，

=（﹣m2+m+2），

=﹣（m﹣）2+≤

∴当m=时，△AFC的面积最大为．