【题目】如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A(﹣2,m),B(4,﹣2)两点,与x轴交于C点,过A作AD⊥x轴于D.
(1)求这两个函数的解析式:
(2)求△ADC的面积.
【答案】
(1)解:∵反比例函数y= 的图象过B(4,﹣2)点,
∴k=4×(﹣2)=﹣8,
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ;
∵反比例函数y= 的图象过点A(﹣2,m),
∴m=﹣ =4,即A(﹣2,4).
∵一次函数y=ax+b的图象过A(﹣2,4),B(4,﹣2)两点,
∴ ,
解得
∴一次函数的解析式为y=﹣x+2;
(2)解:
∵直线AB:y=﹣x+2交x轴于点C,
∴C(2,0).
∵AD⊥x轴于D,A(﹣2,4),
∴CD=2﹣(﹣2)=4,AD=4,
∴S△ADC= CDAD=
×4×4=8.
【解析】(1)因为反比例函数过A、B两点,所以可求其解析式和m的值,从而知A点坐标,进而求一次函数解析式;(2)先求出直线AB与与x轴的交点C的坐标,再根据三角形的面积公式求解即可.
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,边AB的垂直平分线交边BC于点E,垂足为点D,取线段BE的中点F,联结DF.求证:AC=DF.(说明:此题的证明过程需要批注理由)
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【题目】如图,在四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,点O为BD的中点,且AO平分∠BAC.
(1)求证:CO平分∠ACD;
(2)求证:OA⊥OC;
(3)求证:AB+CD=AC.
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【题目】探究题
问题再现:
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
例如:利用图形的几何意义证明完全平方公式.
证明:将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个矩形和两个正方形,如图1:
这个图形的面积可以表示成:
(a+b)2或a2+2ab+b2
∴(a+b)2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式.
(1)类比解决:
请你类比上述方法,利用图形的几何意义证明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)
(2)问题提出:如何利用图形几何意义的方法证明:13+23=32?
如图2,
A表示1个1×1的正方形,即:1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.
由此可得:13+23=(1+2)2=32
尝试解决:
请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:13+23+33= . (要求写出结论并构造图形写出推证过程).
(3)问题拓广:
请用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33+…+n3= . (直接写出结论即可,不必写出解题过程)
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【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动点Q从点C出发,沿线段CB也向点B方向运动,如果点P的速度是4cm/秒,点Q的速度是2cm/秒,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动.设运动时间为t秒.求:
(1)当t=3秒时,这时,P,Q两点之间的距离是多少?
(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.
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【题目】某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为y甲,y乙(单位:元),y甲,y乙与销售数量x(单位:件)的函数关系如图所示,请根据图象解决下列问题:
(1)分别求出y甲,y乙与x的函数关系式;
(2)现厂家分配该商品给甲、乙两商场共计1200件,当甲、乙商场售完这批商品,厂家可获得总利润为1080元,问厂家如何分配这批商品?
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【题目】如图,四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为点F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长.
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