Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC=DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

先根据线段垂直平分线的性质得：AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．

连接AE，

∵DE是AB的垂直平分线（已知），

∴AE=BE，∠EDB=90°（线段垂直平分线的性质），

∴∠EAB=∠EBA=15°（等边对等角），

∴∠AEC=30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），

∴DF=BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），

Rt△ACE中，∵∠AEC=30°（已知），

∴AC=AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），

∴AC=DF（等量代换）．