精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,点A的坐标为(4,0),以OA为一边,在第一象限作等边OAB

(1)求点B的坐标;

(2)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式;

(3)直线y=x与(2)中的抛物线在第一象限相交于点C,求点C的坐标;

(4)在(3)中,直线OC上方的抛物线上,是否存在一点D,使得OCD的面积最大?如果存在,求出点D的坐标和面积的最大值;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)点B的坐标为(2,2);

(2)抛物线的解析式为y=﹣(x﹣2)2+2

(3)点C的坐标为(3,);

(4)OCD的最大面积为,此时点D的坐标为().

析】

试题分析:(1)利用点A的坐标为(4,0),OAB是等边三角形,作高后利用勾股定理可以求出;

(2)题利用顶点式可以求出解析式;

(3)由直线y=x与抛物线相交,用x表示出点C的坐标,即可求出;

(4)假设存在这样一个点,用x表示出点D的坐标,即可求出.

试题解析:(1)如图1,过点B作BEx轴于点E,∵△OAB是等边三角形,

OE=2,BE=2点B的坐标为(2,2);

(2)根据抛物线的对称性可知,点B(2,2)是抛物线的顶点,

设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+2

当x=0时,y=0,

0=a(0﹣2)2+2a=﹣

抛物线的解析式为y=﹣(x﹣2)2+2

即:y=﹣x2+2x;

(3)设点C的横坐标为x,则纵坐标为x,

即点C的坐标为(x, x)代入抛物线的解析式得: x=﹣x2+2x,

解得:x=0或x=3,点C在第一象限,x=3,

点C的坐标为(3,);

(4)存在.

设点D的坐标为(x,﹣ x2+2x),OCD的面积为S,

如图2,过点D作DFx轴于点F,交OC于点G,

则点G的坐标为(x, x),

作CMDF于点M,

则OF+CM=3,DG=﹣x2+2x﹣x=﹣x2+x,

S=S△OCD=S△DGO+S△DGC=DGOF+DGCM=DG(OF+CM)=DG×3

=(﹣x2+x)×3,

S=﹣x2+x=﹣(x﹣2+

∴△OCD的最大面积为,此时点D的坐标为().

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】元旦了,九(2)班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物,结果全班交换小礼物共1560件,求九(2)班有多少个同学?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】将一元二次方程x2﹣4x﹣7=0配方,所得的方程是(  )

A. x﹣2)2=11 B. x﹣2)2=3 C. x+2)2=11 D. x+2)2=3

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,P为平行四边形ABCD的边AD上的一点,E,F分别为PB,PC的中点,PEF,PDC,PAB的面积分别为S,S1,S2.若S=3,则S1+S2的值为(

A.24 B.12 C.6 D.3

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在ABC中,A=90°,AB=AC=2,点O是边BC的中点,半圆O与ABC相切于点D、E,则阴影部分的面积等于(

A.1﹣ B. C.1﹣ D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】下列计算正确的是(  )

A. a5a3=a15 B. a6÷a3=a2 C. (a32=a9 D. a3+a3=2a3

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】若关于x的一元二次方程a(xm)230的两个实数根分别为x1=-1x23,则抛物线ya(xm2)23x轴的交点坐标为_____________________

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,AD为ABC的中线,BE为三角形ABD中线,

(1)ABE=15°BAD=35°,求BED的度数;

(2)在BED中作BD边上的高;

(3)若ABC的面积为60,BD=5,则点E到BC边的距离为多少?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】下列事件是必然发生事件的是( )

A. 打开电视机,正在转播足球比赛 B. 小麦的亩产量一定为1000公斤

C. 在只装有5个红球的袋中摸出1球,是红球 D. 农历十五的晚上一定能看到圆月

查看答案和解析>>

同步练习册答案