【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,点A的坐标为(4,0),以OA为一边,在第一象限作等边△OAB
(1)求点B的坐标;
(2)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式;
(3)直线y=x与(2)中的抛物线在第一象限相交于点C,求点C的坐标;
(4)在(3)中,直线OC上方的抛物线上,是否存在一点D,使得△OCD的面积最大?如果存在,求出点D的坐标和面积的最大值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)点B的坐标为(2,2);
(2)抛物线的解析式为y=﹣(x﹣2)2+2;
(3)点C的坐标为(3,);
(4)△OCD的最大面积为,此时点D的坐标为(,).
【解析】
试题分析:(1)利用点A的坐标为(4,0),△OAB是等边三角形,作高后利用勾股定理可以求出;
(2)题利用顶点式可以求出解析式;
(3)由直线y=x与抛物线相交,用x表示出点C的坐标,即可求出;
(4)假设存在这样一个点,用x表示出点D的坐标,即可求出.
试题解析:(1)如图1,过点B作BE⊥x轴于点E,∵△OAB是等边三角形,
∴OE=2,BE=2,∴点B的坐标为(2,2);
(2)根据抛物线的对称性可知,点B(2,2)是抛物线的顶点,
设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+2,
当x=0时,y=0,
∴0=a(0﹣2)2+2,∴a=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣2)2+2,
即:y=﹣x2+2x;
(3)设点C的横坐标为x,则纵坐标为x,
即点C的坐标为(x, x)代入抛物线的解析式得: x=﹣x2+2x,
解得:x=0或x=3,∵点C在第一象限,∴x=3,
∴点C的坐标为(3,);
(4)存在.
设点D的坐标为(x,﹣ x2+2x),△OCD的面积为S,
如图2,过点D作DF⊥x轴于点F,交OC于点G,
则点G的坐标为(x, x),
作CM⊥DF于点M,
则OF+CM=3,DG=﹣x2+2x﹣x=﹣x2+x,
∴S=S△OCD=S△DGO+S△DGC=DGOF+DGCM=DG(OF+CM)=DG×3
=(﹣x2+x)×3,
∴S=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,
∴△OCD的最大面积为,此时点D的坐标为(,).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】将一元二次方程x2﹣4x﹣7=0配方,所得的方程是( )
A. (x﹣2)2=11 B. (x﹣2)2=3 C. (x+2)2=11 D. (x+2)2=3
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,P为平行四边形ABCD的边AD上的一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2.若S=3,则S1+S2的值为( )
A.24 B.12 C.6 D.3
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点O是边BC的中点,半圆O与△ABC相切于点D、E,则阴影部分的面积等于( )
A.1﹣ B. C.1﹣ D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】若关于x的一元二次方程a(x+m)2-3=0的两个实数根分别为x1=-1,x2=3,则抛物线y=a(x+m-2)2-3与x轴的交点坐标为_____________________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AD为△ABC的中线,BE为三角形ABD中线,
(1)∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度数;
(2)在△BED中作BD边上的高;
(3)若△ABC的面积为60,BD=5,则点E到BC边的距离为多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】下列事件是必然发生事件的是( )
A. 打开电视机,正在转播足球比赛 B. 小麦的亩产量一定为1000公斤
C. 在只装有5个红球的袋中摸出1球,是红球 D. 农历十五的晚上一定能看到圆月
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com