Question

【题目】如图Ⅰ，已知：AD=AB，AD⊥AB，AC=AE，AC⊥AE．

（1）若反向延长△ABC的高AM交DE于点N，过D作DH⊥MN．求证：①DH=AM；②DN=EN

（2）如图Ⅱ，若AM为△ABC的中线，反向延长AM交DE于点N，求证：AN⊥DE．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）①利用AAS证明△ADH≌△BAM，可推出DH=AM；
②作EF⊥MN交MN的延长线于F，同法可证EF=AM，推出DH=EF，然后利用AAS证明△DNH≌△ENF即可；
（2）延长AM到F，使得MF=AM，证明四边形ABCF是平行四边形，再证明△ADE≌△CFA，得到∠E=∠CAF，由∠CAF+∠EAN=90°，推出∠EAN+∠E=90°，得到∠ANE=90°，即可求解.

（1）证明：①∵∠BAD=∠AHD=∠AMB=90°，

∴∠DAH+∠BAM=90°，∠DAH+∠ADH=90°，

∴∠BAM=∠ADH，

∵AB=AD，

∴△ADH≌△BAM（AAS），

∴DH=AM；

②如图，作EF⊥MN交MN的延长线于F，

同①可证EF=AM，

∵DH=AM，

∴DH=EF，

∵∠DHN=∠EFN，∠DNH=∠ENF，

∴△DNH≌△ENF（AAS），

∴DN=EN；

（2）如图，延长AM到F，使得MF=AM，

∵AM=MF，BM=CM，

∴四边形ABFC是平行四边形，

∴AB=CF，AB∥CF，

∴∠BAC+∠ACF=180°，

∵AD⊥AB， AC⊥AE

∴∠BAD=∠EAC=180°，

∴∠BAC+∠DAE=180°，

∴∠DAE=∠ACF，

∵AD=CF，AE=AC，

∴△ADE≌△CFA，

∴∠E=∠CAF，

∵∠CAF+∠EAN=90°，

∴∠EAN+∠E=90°，

∴∠ANE=90°，

∴AN⊥DE．