Question

【题目】 如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），点C是直线y2＝x+5上的一个动点，连接BC，过点C作CD⊥AB于点D．

(1)求直线y1＝kx+b的函数表达式；

(2)当BC∥x轴时，求BD的长；

(3)点E在线段OA上，OE＝OA，当点D在第一象限，且△BCD中有一个角等于∠OEB时，请直接写出点C的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）把A、B两点坐标代入y1＝kx+b，求出a，b的值即可解决问题；

（2）求出点C的坐标，求出直线CD的解析式，构建方程组确定交点坐标即可．

（3）分两种情形：当∠BCD＝∠BEO时，过点A作AM⊥BC交BC的延长线于M，点M作MN⊥x轴于N．当∠CBD＝∠BEO时，同法可得点C的横坐标．

（1）把A（4，0），B（0，3）代入y1＝kx+b，

得到，

解得：，

∴y1＝﹣x+3．

（2）∵BC∥x轴，

∴点C的纵坐标为3，

当y＝3时，3＝﹣x+5，

解得x＝，

∴C（，3），

∵CD⊥AB，

∴直线CD的解析式为y＝x+，

由，解得，

∴D（，），

∴BD＝＝．

（3）如图，当∠BCD＝∠BEO时，过点A作AM⊥BA交BC的延长线于M，过点M作MN⊥x轴于N．

∵OB＝3，OE＝OA＝，

∴tan∠BEO＝＝2，

∵CD⊥AB，AM⊥AB，

∴CD∥AM，

∴∠AMB＝∠BCD＝∠BEO，

∴tan∠AMB＝＝2，

∵AB＝＝＝5，

∴AM＝AB＝，

∵∠AOB＝∠ANM＝∠BAM＝90°，

∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠BAO+∠MAN＝90°，

∴∠MAN＝∠ABO，

∴△ABO∽△MAN，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴AN＝，MN＝2，

∴M（，2），

∴直线BM的解析式为y＝﹣x+3，

由，解得x＝，

∴点C的横坐标为

如图，当∠CBD＝∠BEO时，过点A作AM⊥BA交BC的延长线于M，过点M作MN⊥x轴于N．

同法可得AM=10，AN=6，MN=8，

∴ON=10，

∴M（10，8），

∴直线BM的解析式为y＝x+3，

由，解得x＝，

∴点C的横坐标为

综上所述，点C的横坐标为或．