Question

【题目】 如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，tanα＝，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上的一个动点，连接EB，将线段EB绕点E逆时针旋转2α后得到线段EF，连接AF，若BC＝24，则线段AF的最小值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接BF，过点E作EH⊥BF于H，作，在BT上取一点使得AT＝BT，连接AT，TE，过点T作TG⊥AB于G，证明∽，推出＝＝，得到AF＝TE，求出TE的最小值即可解决问题．

解：如图，连接BF，过点E作EH⊥BF于H，作，在BT上取一点使得AT＝BT，连接AT，TE，过点T作TG⊥AB于G，

∵BE＝EF，EH⊥BF，∠BEF＝2α，

∴∠BEH＝∠FEH＝α，∠BHE＝90°，BH＝FH，

∴∠EBF+∠BEH＝∠EBF+α＝90°，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD+∠ABD＝90°，即∠BAD+α＝90°，

∴∠EBF＝∠BAD，

∵AD∥BT，

∴∠ABT＝∠BAD，

∴∠ABT＝∠EBF，

∴∠ABT+∠ABE＝∠EBF+∠ABE，即∠TBE＝∠ABF，

∵TG⊥AB于G，

∴∠ABT+∠BTG＝90°，

又∵∠EBF+∠BEH＝90°，

∴∠BTG＝∠BEH＝α，

∵tanα＝，

∴tan∠BEH＝＝，设BH＝5k，EH＝6k，则BF＝10k，BE＝k，

∴＝＝，

∵TA＝TB，TG⊥AB，

∴AG＝BG，

∵tan∠ABD＝＝，

∴设AD＝5m，BD＝6m，则AB＝m，AG＝BG＝m，

又∵tan∠BTG＝＝，

∴TG＝m，则BT＝m，

∴＝，

∴＝，

∵∠TBE＝∠ABF，

∴∽，

∴＝＝，

∴AF＝TE，

∵CD＝DB＝12，tan∠ABC＝＝，

∴AD＝10，AB＝＝＝，

∴BT＝AT＝，

∵ET最小时，AF的值最小，观察图象可知当E与A重合时，ET的值最小，最小值为，

∴AF的最小值＝．

故答案为：．