Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作PD∥BC与AB的延长线相交于点P．

(1)求证：PD是⊙O的切线；

(2)求证：BD2＝PBAC．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

（1）先根据圆的性质得到∠BAC＝90°以及角平分线的定义得到∠BAC＝2∠BAD，进而得到∠BOD＝∠BAC＝90°，推出PD⊥OD，即可证明；

（2）先证明△PBD∽△DCA.得出，证明BD=CD，即可证明．

(1)证明：如图，连接OD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠BAD，

∵∠BOD＝2∠BAD，

∴∠BOD＝∠BAC＝90°，

∵DP∥BC，

∴∠ODP＝∠BOD＝90°，

∴PD⊥OD，

∵OD是⊙O半径，

∴PD是⊙O的切线；

(2)证明：∵PD∥BC，

∴∠P＝∠ABC，

∵＝，

∴∠ABC＝∠ADC，

∴∠P＝∠ADC，

∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，

∴∠PBD＝∠ACD，

∴△PBD∽△DCA．

∴，

∴PBAC＝BDCD，

∵AD平分∠BAC，

∴＝，

∴BD2＝PBAC．