Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，D是AC边上一点，连接BD，AF⊥BD于点F，点E在BF上，连接AE，∠EAF=45°，连接CE，AK⊥CE于点K，交DE于点H，∠DEC=30°，HF=，则EC=______

Answer 1

【答案】6

【解析】

延长AF交CE于P，证得△ABH≌△APC得出AH=CP，证得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的长．

如图，延长AF交CE于P，

∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，

∴∠ABH=∠PAC，

∵AK⊥CE，AF⊥BD，∠EHK=∠AHF，

∴∠HEK=∠FAH，

∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，

∴∠AHF=∠EPF，

∴∠AHB=∠APC，

在△ABH与△APC中，

，

∴△ABH≌△APC（ASA），

∴AH=CP，

在△AHF与△EPF中，

，

∴△AHF≌△EPF（AAS），

∴AH=EP，∠CED=∠HAF，

∴EC=2AH，

∵∠DEC=30°，

∴∠HAF=30°，

∴AH=2FH=2×=3，

∴EC=2AH=6．