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【题目】我们知道:有一内角为直角的三角形叫做直角三角形.类似地我们定义:有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,A40),B(-40),Dy轴上的一个动点,∠ADC=90°(ADC按顺时针方向排列) BC与经过ABD三点的⊙M交于点EDE平分∠ADC,连结AEBD.显然ΔDCEΔDEFΔDAE是半直角三角形.

1)求证:ΔABC是半直角三角形;

2)求证:∠DEC=DEA

3)若点D的坐标为(08),求AE的长;

4BCy轴于点N,问的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3;(4不变,为 .

【解析】

1)先求得∠ADE=45°,由同弧所对的圆周角可知:∠ABE=ADE=45°,根据定义得:ABC是半直角三角形;
2)根据垂直平分线的性质得:AD=BD,由等角对等边得:∠DAB=DBA,由DBAE四点共圆,
则∠DBA+DEA=180°,可得结论;
3)设⊙M的半径为r,根据勾股定理列方程为:(8-r2+42=r2,可得⊙M的半径为5,由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得∠EMA=2ABE=90°,根据勾股定理可得结论;

4)过点CCHDOH,过点CCQBAQ,通过证明RtHDCRtADO,推出HC=ODDH=OA,推出CQ= BQ,得出∠CBQ=45°,推出HCN为等腰直角三角形即可.

解:(1)∵∠ADC=90°DE平分∠ADC

∴∠ABE=ADE=45

ΔABC是半直角三角形

2))∵OMABOA=OB
AD=BD
∴∠DAB=DBA
∵∠DEB=DAB
∴∠DBA=DEB
DBAE四点共圆,
∴∠DBA+DEA=180°
∵∠DEB+DEC=180°
∴∠DEA=DEC

3))①如图,连接AMME,设⊙M的半径为r

∵点D的坐标为(0,8)∴OM=8-r

解得r=5 ∴⊙M 的半径为5

∵∠ABE=45°
∴∠EMA=2ABE=90°
EA2=MA2+ME2=52+52=50

4不变,为

过点CCHDOH,过点CCQBAQ


∵∠CDH+ODA=90°CDH+CDH=90°
∴∠ODA=CDA
HDCADO中,

RtHDCRtADOAAS),
HC=ODDH=OA
BO=AO
HO=DH+DO=OB+CH
HO=CQ
CQ=OB+OQ=BQ
∴∠CBQ=45°
CHBA
∴∠HCN=45°
∴△HCN为等腰直角三角形

=

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