【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,2为半径作圆,E是⊙A上的任意一点,将点E绕点D按逆时针方向转转90°得到点F,则线段AF的长的最小值____.
【答案】4.
【解析】
根据题意先证明△ADE≌△CDF,则CF=AE=1,根据三角形三边关系得:AF≤AC-CF,可知:当F在AC上时,AF最小,所以由勾股定理可得AC的长,可求得AF的最小值.
解:如图,连接FC,AC,AE.
∵ED⊥DF,
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADC=90°,
∴∠ADF+∠CDF=90°,
∴∠EDA=∠CDF,
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴CF=AE=1,
∵正方形ABCD的边长为4,
∴AC=4,
∵AF≥AC-CF,
∴AF≥4-2
∴AF的最小值是4-2;
故答案为:4-2.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(﹣3,m+8),B(n,﹣6)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
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【题目】如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,左右两个抛物线形是全等的.正常水位时,大孔水面宽度为,顶点距水面,小孔顶点距水面.当水位上涨刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度为________.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=80°,点D,E分别在边AB,AC上,且DA=DE=CE.
(1)求作点F,使得四边形BDEF为平行四边形;(要求:尺规作图,保留痕迹,不写作法)
(2)连接CF,写出图中经过旋转可完全重合的两个三角形,并指出旋转中心和旋转角.
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【题目】我们知道:有一内角为直角的三角形叫做直角三角形.类似地我们定义:有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,A(4,0),B(-4,0),D是y轴上的一个动点,∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列), BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E,DE平分∠ADC,连结AE,BD.显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形.
(1)求证:ΔABC是半直角三角形;
(2)求证:∠DEC=∠DEA;
(3)若点D的坐标为(0,8),求AE的长;
(4)BC交y轴于点N,问的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由.
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【题目】如图,在锐角△ABC中,小明进行了如下的尺规作图:
①分别以点A、B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧分别相交于点P、Q;
②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D.
(1)小明所求作的直线DE是线段AB的 ;
(2)联结AD,AD=7,sin∠DAC=,BC=9,求AC的长.
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【题目】某公司经销一种商品,每件商品的成本为元,经市场调查发现,在一段时间内,销售量(件)随销售单价(元/件)的变化而变化,具体关系式为,设这种商品在这段时间内的销售利润为(元),解答如下问题:
(1)求与之间的函数表达式;
(2)当取何值时,的值最大?
(3)如果物价部门规定这种商品的销售单价不得高于元/件,公司想要在这段时间内获得元的销售利润,那么销售单价应定为多少?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证:ED为⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙O于F,连接DF、AF,求△ADF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得≌ 即可得,则可证得为的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的长,又由OE∥AB,证得根据相似三角形的对应边成比例,即可求得的长,然后利用三角函数的知识,求得与的长,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
试题解析:(1)证明:连接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切线;
(2)连接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直径,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面积为
【题型】解答题
【结束】
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【题目】【题目】已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
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