Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．
（1）求点B的坐标；
（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，

∵△AOB为等边三角形，且OA=2，

∴∠AOB=60°，OB=OA=2，

∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，

∴BC= OB=1，OC= ，

∴点B的坐标为B（ ，1）

（2）解：∠ABQ=90°，始终不变．理由如下：

∵△APQ、△AOB均为等边三角形，

∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，

∴∠PAO=∠QAB，

在△APO与△AQB中，

，

∴△APO≌△AQB（SAS），

∴∠ABQ=∠AOP=90°

（3）解：当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，

∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．

又OB=OA=2，可求得BQ= ，

由（2）可知，△APO≌△AQB，

∴OP=BQ= ，

∴此时P的坐标为（﹣ ，0）．

【解析】（1）如图，作辅助线；证明∠BOC=30°，OB=2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解决问题；（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果．