如图1.正方形ABCD的边AD在y轴上.抛物线y=a(x-2)2-1经过点A.B.与x相交于点E.F.且其顶点M在CD上．(1)请直接写出点A的坐标(0.3).并写出a的值2,(2)若点P是抛物线上一动点.过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G.与直线BD交于点H.如图2．①当线段PH=2GH时.求点P的坐标,②当点P在直线BD下方时.点K在直线BD上.且满足△KPH∽� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．如图1，正方形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=a（x-2）²-1经过点A、B，与x相交于点E、F，且其顶点M在CD上．
（1）请直接写出点A的坐标（0，3），并写出a的值2；
（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2．
①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；
②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH周长的最大值．

分析（1）根据抛物线的对称性、抛物线的顶点坐标以及正方形四边都相等的性质解答；
（2）①根据待定系数法可得直线BD的解析式，设点P的坐标为（x，x²-4x+3），则点H（x，x-1），点G（x，3）．分三种情况：i）当x≥1且x≠4时；ii）当0＜x＜1时；iii）当x＜0时；三种情况讨论可得点P的坐标；
②根据相似三角形的性质可得S_△KPH=$\frac{3}{4}$PH²=$\frac{3}{4}$（-x²+5x-4）²，再根据二次函数的增减性可得△KPH面积的最大值．

解答解：（1）如图1，∵抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，顶点是M，
∴M（2，-1）．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴OD=1，DC=BC=AB=AD=4，
∴A（0，3）．
把A（0，3）代入y=a（x-2）²-1，得
3=a（0-2）²-1，
解得a=2．
故答案是：（0，3）；2；

（2）①设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），由于直线BD经过D（0，-1），B（4，3），
则$\left\{\begin{array}{l}{-1=b}\\{3=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
故直线BD的解析式为y=x-1．
设点P的坐标为（x，x²-4x+3），则点H（x，x-1），点G（x，3）．
i）当x≥1且x≠4时，点G在PH的延长线上，如图2．
∵PH=2GH，
∴（x-1）-（x²-4x+3）=2[3-（x-1）]，
∴x²-7x+12=0，
解得x₁=3，x₂=4．
当x₂=4时，点P，H，G重合于点B，舍去．
∴x=3．
∴此时点P的坐标为（3，0）．

ii）当0＜x＜1时，点G在PH的反向延长线上，如图3，PH=2GH不成立．
iii）当x＜0时，点G在线段PH上，如图4．
∵PH=2GH，
∴（x²-4x+3）-（x-1）=2[3-（x-1）]，
∴x²-3x-4=0，解得x₁=-1，x₂=4（舍去），
∴x=-1．此时点P的坐标为（-1，8）．
综上所述可知，点P的坐标为（3，0）或（-1，8）．

②如图5，令x²-4x+3=0，得x₁=1，x₂=3，
∴E（1，0），F（3，0），
∴EF=2．
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$EF•OA=3．
∵△KPH∽△AEF，
∴$\frac{{S}_{△KPH}}{{S}_{△AEF}}$=（$\frac{PH}{EF}$）²，
∴S_△KPH=$\frac{3}{4}$PH²=$\frac{3}{4}$（-x²+5x-4）²．
∵1＜x＜4，
∴当x=$\frac{5}{2}$时，S_△KPH的最大值为$\frac{243}{64}$．

点评本考查了二次函数综合题．涉及的知识点有：坐标轴上的点的坐标特征，抛物线的顶点式，矩形的性质，待定系数法求直线的解析式，相似三角形的性质，二次函数的增减性，分类思想，综合性较强，有一定的难度．

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