Question

2．如图，已知等边△ABC，点E在边AC上，点D在边BC上，且AE=CD，连接AD、BE相交于点G，过点B作BF⊥AD于点F，△ABG和△MBG关于直线BG对称（点A的对称点是点M），BM与AD相交于点H．已知AG=3，GH=2，则GE=1．

Answer 1

分析 根据已知条件证得△ABE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质得到∠1=∠2，由∠3+∠2=60°，得到∠1+∠3=60°=∠AGE=∠BGD，由对称的性质得到AG=GM=3，∠BGM=∠BGA=180°-60°=120°，于是得到∠HGM=120°-60°=60°，过H作HN⊥GM于H，由勾股定理得到HM=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，由BF⊥DH，得到BD=BH求得HM=CD=AE=$\sqrt{7}$，过E作EQ⊥AG于Q，设GE=2a，解直角三角形得到GQ=a，QE=$\sqrt{3}$a，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABC=∠C}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠1=∠CAD，
∵∠BGH=∠1+∠BAG=∠BAG+∠CAD=60°，
∵∠1=∠2，
∴∠3+∠2=30°，
∴∠AGE=∠BGD=60°，
∵△ABG和△MBG关于直线BG对称
∴AG=GM=3，∠BGM=∠BGA=180°-60°=120°，
∴∠HGM=120°-60°=60°，
过H作HN⊥GM于H，
∵GH=2，
∴$GN=1，NM=3-1=2，HN=\sqrt{3}$，
∴HM=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠1=∠2，∠2+∠3=90°-∠BGF=30°，
∴∠3=∠4，
∵BF⊥DH，
∴BD=BH，
∵BC=AB=BM，
∴HM=CD=AE=$\sqrt{7}$，
过E作EQ⊥AG于Q，
设GE=2a，
∵∠QGE=60°，
∴GQ=a，QE=$\sqrt{3}$a，
∴（$\sqrt{7}$）²=（3-a）²+（$\sqrt{3}$a）²，
∴a=$\frac{1}{2}$，a=1（不和题意，舍去），
∴GE=2a=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．