Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m＞0，四边形ABCD是矩形．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，求m，n的值；

（2）在图2中，画出矩形ABCD，简要说明点C，D的位置是如何确定的，并直接用含m的代数式表示点C的坐标；

（3）探究：当m为何值时，矩形ABCD的对角线AC的长度最短．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，过点D作DE⊥y轴于E，

∴∠AED=∠AOB=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∴∠DAE+∠BAO=90°，

∴∠ADE=∠BAO，

在△ABO和△ADE中， ，

∴△ABO≌△ADE，

∴DE=OA，AE=OB，

∵A（0，3），B（m，0），D（n，4），

∴OA=3，OB=m，OE=4，DE=n，

∴n=3，

∴OE=OA+AE=OA+OB=3+m=4，

∴m=1；

（2）解：画法：如图2，①过点A画AB的垂线l1，

过点B画AB的垂线l2，

②过点E（0，4），画y轴的垂线l3交l1于D，

③过点D画直线l1的垂线交直线l2于点C，

所以，四边形ABCD是所求作的图形，

过点C作CF⊥x轴于F，

∴∠CBF+∠BCF=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，

∴∠ABO+∠CBF=90°，

∴∠BCF=∠ABO，

同理：∠ABO=∠DAE，

∴∠BCF=∠DAE，

在△ADE和△CBF中， ，

∴△ADE≌△CBF，

∴DE=BF=n，AE=CF=1，

易证△AOB∽△DEA，

∴ ，∴ ，

∴n= ，

∴OF=OB+BF=m+ ，

∴C（m+ ，1）；

（3）解：如图3，由矩形的性质可知，BD=AC，

∴BD最小时，AC最小，

∵B（m，0），D（n，4），

∴当BD⊥x轴时，BD有最小值4，此时，m=n，

即：AC的最小值为4，

连接BD，AC交于点M，过点A作AE⊥BD于E，

由矩形的性质可知，DM=BM= BD=2，

∵A（0，3），D（n，4），

∴DE=1，

∴EM=DM﹣DE=1，

在Rt△AEM中，根据勾股定理得，AE= ，

∴m= ，即：

当m= 时，矩形ABCD的对角线AC的长最短为4．

【解析】（1）先判断出∠ADE=∠BAO，即可判断出△ABO≌△ADE，得出DE=OA=3，AE=OB，即可求出m；（2）先根据垂直的作法即可画出图形，判断出△ADE≌△CBF，得出CF=1，再判断出△AOB∽△DEA，即可得出OB= ，即可得出结论；（3）先判断出BD⊥x轴时，求出AC的最小值，再求出DM=2，最后用勾股定理求出AE即可得出m．
【考点精析】认真审题，首先需要了解矩形的性质(矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等)．