Question

11．二次函数y=x²-2ax+2a+3分别满足下列条件时，求a的取值范围．
（1）抛物线过原点；
（2）抛物线的顶点在x轴上；
（3）函数的最小值是3；
（4）当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小．

Answer 1

分析 （1）抛物线过原点，也就是2a+3=0，求得a的数值即可；
（2）由顶点坐标在x轴上可知其最小值为0，即当x=a时，y有最小值0，代入可求得a；
（3）当x=a时，y有最小值3，代入可求得a；
（4）由条件可知其对称轴为x=3，代入x=-$\frac{b}{2a}$可求得a的值．

解答 解：二次函数y=x²-2ax+2a+3开口向上，对称轴方程为x=a，所以当x=a时有最小值，最小值为y=-a²+2a+3，
（1）抛物线过原点，则2a+3=0，a=-$\frac{3}{2}$；
（2）当顶点在x轴上时，可知其最小值为0，则有-a²+2a+3=0，解得a=3或-1，
所以当a=3或-1时，抛物线的顶点在x轴上；
（3）当最小值是3时，即-a²+2a+3=3，解得a=0或a=2，
所以当a=0或2时，二次函数的最小值为3；
（4）当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小，可知二次函数对称轴为x=3，
即a=3，所以当a=3时，二次函数满足当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小．

点评 此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的最值、对称轴的求法以及函数的增减性是解题的关键．