【题目】△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是BC上一点,连接AD,将线段AD绕着点A逆时针旋转,使点D的对应点E在BC的延长线上。过点E作EF⊥AD垂足为点G,
(1)求证:FE=AE;
(2)填空:=__________
(3)若,求
的值(用含k的代数式表示).
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)由,得
,由∠AGH=∠ECH=90°,则∠DAC=∠BEF,由轴对称的性质,得到∠DAC=∠EAC,则∠BEF=∠EAC,利用三角形外角的性质,得到
,即可得到结论成立;
(2)过点E作EM⊥BE,交BA延长线于点M,作AN⊥ME于N,先证明△BEF≌△MEA,
得到BF=AM,再利用等腰直角三角形的性质和矩形的性质,得到,DE=2CE=2AN,即可得到答案.
(3)根据题意,先证明,得到
,从而得到
,再证明
,即可得到
.
(1)证明:∵,
.
∵垂足为点
,
.
∵,
.
∵,
.
∵,
.
在和
中,
,
,
,
.
.
∵,
,
.
.
(2)如图,过点E作EM⊥BE,交BA延长线于点M,作AN⊥ME于N,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠B=45°,
∵EM⊥BE,
∴∠M=∠B=45°,
∴BE=ME,
∵FE=AE,
∴△BEF≌△MEA,
∴BF=AM,
∵AN⊥ME,∠M=45°,
∴△AMN是等腰直角三角形,
∴AN=MN,AM=,
易知四边形ACEN是矩形,
∴CE=AN=MN,
∵DE=2CE=2AN,
∴;
故答案为:;
(3)解:如图:
∵,
,
.
∵,
由(1)知,
.
由(1)知,
.
.
设,
,则
,
,
,
.
.
.
∵,
,
.
.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,延长AD至点E,使DE=AD,连接BD.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形;
(2)若DA=DB=2,cosA=,求点B到点E的距离.
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【题目】小明家的门框上装有一把防盗门锁(如图1),其平面结构图如图2所示,锁身可以看成由两条等弧,
和矩形
组成的,
的圆心是倒锁按钮点
.已知
的弓形高
,
,
.当锁柄
绕着点
顺时针旋转至
位置时,门锁打开,此时直线
与
所在的圆相切,且
,
.
(1)求所在圆的半径;
(2)求线段的长度.(
,结果精确到
)
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【题目】已知抛物线与 y 轴交于点 C(0,4),与 x 轴交于点 A、B,点 A 的坐标为(4,0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点 Q 是线段 AB 上的动点,过点 Q 作 QE∥AC,交 BC 于点 E,连接 CQ,当△CQE 的面积最大时,求点 Q的坐标;
(3)当点 Q 从点 B 出发沿着 BA 方向以每秒 2 个单位长向点 A 运动,同时点 P 从点 A 出发沿着 AC 方向以每秒 个单位长度向点 C 运动,其中一个点到达终点,另一个点也停止运动,设 P、Q 运动时间为 t 秒,当 t 为何值?△APQ为等腰三角形?
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【题目】如图,一条抛物线与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),其顶点P在线段MN上移动.若点M、N的坐标分别为(-1,-1)、(2,-1),点B的横坐标的最大值为3,则点A的横坐标的最小值为( )
A.-3B.-2.5C.-2D.-1.5
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【题目】如图,点O、B、A坐标分别为(0,0)、(3,0)、(4,2),将△OAB向上平移1个单位长度得到△O′A′B′.
(1)画出△O′A′B′,并写出点A′、B′的坐标;
(2)求△OAB与△O′A′B′重叠部分的面积.
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【题目】已知二次函数y=x2﹣4x+3.
(1)求该二次函数图象的顶点和对称轴;
(2)在所给坐标系中画出该二次函数的图象;
(3)根据图象直接写出方程x2﹣4x+3=0的根;
(4)根据图象写出当y<0时,x的取值范围.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°.BE平分∠ABC交AC于点D,交△ABC的外接圆于点E,过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F.请补全图形后完成下面的问题:
(1)求证:EF是△ABC外接圆的切线;
(2)若BC=5,sin∠ABC=,求EF的长.
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【题目】某校组织学生开展为贫困山区孩子捐书活动,要求捐赠的书籍类别为科普类、文学类、漫画类、哲学故事类、环保类,学校图书管理员对所捐赠的书籍随机抽查了部分进行统计,并对获取的数据进行了整理,根据整理结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.已知所统计的数据中,捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同.请根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次被抽查的书籍有_____册.
(2)补全条形统计图.
(3)若此次捐赠的书籍共1200册,请你估计所捐赠的科普类书籍有多少册.
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