Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C是AB的中点，∠ECD绕点C按顺时针旋转，且∠ECD=45°,∠ECD的一边CE交y轴于点F,开始时另一边CD经过点O,点G坐标为（-2,0),当∠ECD旋转过程中，射线CD与x轴的交点由点O到点G的过程中，则经过点B、C、F三点的圆的圆心所经过的路径长为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先确定点B、A、C的坐标，①当点G在点O时，点F的坐标为（0,2），此时点F、B、C三点的圆心为BC的中点，坐标为（1,3）；②当直线OD过点G时，利用相似求出点F的坐标，根据圆心在弦的垂直平分线上确定圆心在线段BC的垂直平分线上，故纵坐标为，利用两点间的距离公式求得圆心的坐标，由此可求圆心所走的路径的长度.

∵直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,

∴B(0,4),A(4,0),

∵点C是AB的中点，

∴C(2,2),

①当点G在点O时，点F的坐标为（0,2），此时点F、B、C三点的圆心为BC的中点，坐标为（1,3）；

②当直线OD过点G时，如图，

连接CN,OC,则CN=ON=2，∴OC=,

∵G(-2，0),

∴直线GC的解析式为：，∴直线GC与y轴交点M(0，1),

过点M作MH⊥OC,∵∠MOH=45，∴MH=OH=,

∴CH=OC-OH=,

∵∠NCO=∠FCG=45,∴∠FCN=∠MCH,

又∵∠FNC=∠MHC,

∴△FNC∽△MHC,

∴,即，得FN=,∴F(,0),

此时过点F、B、C三点的圆心在BF的垂直平分线上，设圆心坐标为（x，），

则，解得，

当∠ECD旋转过程中，射线CD与x轴的交点由点O到点G的过程中，则经过点B、C、F三点的圆的圆心所经过的路径为线段，即由BC的中点到点（，），

∴所经过的路径长=.

故选：A.