Question

【题目】如图1，抛物线y＝-x2+x+与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．

(1)求直线AE的解析式；

(2)点F是第一象限内抛物线上一点，当△FAD的面积最大时，求出此时点F的坐标；

(3)如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的值为或或或．

【解析】

（1）由抛物线解析式，分别求出A、B、C三点坐标，由△AOC∽△DOA得，从而求出DO，进而可知直线AE的解析式；

（2）过点作轴于点，交直线于点，分别根据抛物线和直线AE的解析式，设出点F和点K的坐标，由S△FAD=S△FAK-S△FDK，用x表示△FAD的面积，根据二次函数的性质即可求解；

（3）连接，过点作轴于点，分三种情况讨论当△AC′E为等腰三角形时，t的值：①；②；③．

（1）由题意知，抛物线y＝-x2+x+与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，

令=0，得，所以C(0,),

令=0，得，所以A(-1,0)，B(3,0)，

根据题意，AE⊥AC

∴∠CAD=∠CAO+∠OAD=90°，

又∵∠AOC=∠DOA=90°

∴∠OAD+∠ADO=90°

∴∠ADO=∠CAO

∴△AOC∽△DOA

∴

∴

∴点D的坐标为：

∴直线AE的解析式为：；

（2）过点作轴于点，交直线于点，过点作于点，

设点坐标为，则点，

，

，

，

，

，

，

当时，有最大值，

此时点；

（3）连接，过点作轴于点，

则

点，易求

①当时，，解得：；

②当时，同理可得：(舍去负值)；

③当时，同理可得：；

故：的值为或或或．