Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是△ABC的角平分线，若AC=3，则BD的长为（　　）

• A、

  5

  -3
• B、-3

  5

  +3
• C、

  3 5 -3

  2

• D、

  3-3 5

  2

Answer 1

考点：黄金分割

专题：计算题

分析：先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABC=∠C=72°，再由BD是△ABC的角平分线得到∠ABD=∠DBC=36°，易得BC=BD=AD，接着证明△BDC∽△ABC得到

BC

AC

=

CD

BC

，所以

AD

AC

=

CD

AD

，根据黄金分割点的定义得AD=

5 -1

2

AC=

3 5 -3

2

，即可得到BD的长．

解答：解：如图，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴DA=BD，
而∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴BC=BD=AD，
∵∠A=∠CBD，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC∽△ABC，
∴

BC

AC

=

CD

BC

，
∴

AD

AC

=

CD

AD

，
∴D点为AC的黄金分割点，
∴AD=

5 -1

2

AC=

3 5 -3

2

，
∴BD=

3 5 -3

2

．
故选C．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．